ابتدا تاریخچهای مختصر از مدولهای درونبر[1]، همدرونبر[2]، درونبرپوشا[3] و همدرونپوشا[4] ارائه
میدهیم. اولین باردرسال1979 توسط خوری[5] مفهومی به نام مدولهایدرونبر معرفی شد. R – مدول M درونبر گفته می شود هرگاه بهازای هر زیرمدول غیرصفرN از M ، داریم :
HomR(M,N)¹ 0. درسالهای بعد مفهوم درونبری توسط مولفان دیگرازجمله ژئو[6]، ریزوی[7]و رومن[8] واخیراً توسطاسمیت9، حقانی و ودادی مورد تحقیق و بررسی قرارگرفته است. سپس در سال2007 مفهومدوگانی از درونبری به نام همدرونبری توسط امینی، ارشاد و شریف ارائه شد.
مدول M همدرونبر گفته می شود هرگاه به ازای هر زیرمدول سرهN از M، داشته باشیم :
HomR(M/N , M) ¹ 0 . سپس مفهوم مدولهای درونبرپوشا توسط قربانی و ودادی در سال 2009 ارائه شد که توسیعی از مفهوم حلقه pri میباشد.
حلقه R، حلقه ایدهآل راست اصلی یا به اختصار حلقه pri ، نامیده می شود هرگاه، هر ایدهآل راست آن اصلی باشد. توسیع این مفهوم در مدولها درونبرپوشایی نامیده شدهاست.
یک R- مدول راست M درونبرپوشا گفته می شود هرگاه به ازای هر زیرمدول غیرصفر N از M همریختی غیرصفرپوشایی از M به N موجود باشد. بنابر قضیه اول یکریختی و با توجه به این
نکته که یک مدول اصلی یکریخت با R/Iاست ، حلقه R یک حلقه pri است اگر و تنها اگر مدول RR درونبرپوشا باشد. دوگان این مطلب بهنام همدرونبرپوشایی توسط قربانی ارائه شدهاست. R – مدول M همدرونبرپوشا گفته می شود هرگاه به ازای هر زیرمدول سره N از M همریختی غیرصفر یک به یکی از M/N به M موجود باشد.
در این پایان نامه مفهوم همدرونبرپوشایی، قضایای مربوطه و دوگان آن تحقیق می شود که برگرفته از مرجع ]3[ میباشد.
1-2. تعاریف وقضایای مقدماتی
در سراسر این پایان نامه حلقهها شرکتپذیر و یکدار میباشند. (تمام مدولها مدول راست می باشند.) درابتدا یادآوری، سپس تعاریف اولیه و بعد قضایای مقدماتی به صورت نکته و لم بیان می شود.
یادآوری
فرضکنید R یک حلقه باشد.R – مدول M را ساده گویند اگر زیرمدول غیربدیهی نداشته باشد. مدول M نیمساده نامیده می شود اگر هر زیرمدولش یک جمعوند آن باشد.
زیرمدول L از M اساسی نامیده می شود و مینویسیم Lvess M هرگاه به ازای هر N £ M اگر L ∩ N = 0 ، آنگاه =0 N . به طور معادل L vess M اگر و تنها اگر به ازای هر عنصر ناصفر xÎM ، rÎR موجود باشد به طوریکه 0 ¹ xrÎ L .
زیرمدول K از M زاید نامیده می شود و مینویسیم K<< M ، هرگاه به ازای هر N £ M اگرK + N = M آنگاه = M N.
فرض کنید M یک R- مدول راست باشد، X زیرمجموعه ای از M و Y هم زیرمجموعه ای از R ، پوچساز راست X در R با rR (X) و پوچسازچپ Y در M با lM (Y) نمایش داده می شود و تعریف میکنیم :
rR (X) = { r Î R : X r = 0 } lM (Y) ={ m Î M : mY = 0 }
همچنین برای S- مدول چپ N ، rN (Z) وlS (W) به طور مشابه برای هر Z Í S و هر
W Í N به صورت زیر تعریف می شود :
r N (Z) ={ n Î N : Z n = 0 } l S (W) = { s Î S : sW = 0 }
اگر X = {a}، آنگاه پوچساز راست آن با rR (a ) نشان داده می شود و داریم :
rR (a)= rR (X) و نیز lR (a)= lR (X).
با بهره گرفتن از قضیه 2-15 از مرجع [1] نتایج زیر را داریم :
اگر A و B دو زیرمجموعه R – مدول راست M باشند و AÍ B آنگاه rR (B) Í rR (A) . بوضوح Í lM (rR (A)) A و میتوان نتیجه گرفت (A))) Í rR (A) rR (lM (rR . از سوی دیگر با قرار دادن C= rR (A)درC Í lM (rR ©) (بهازای هرC Í R) داریم :
rR (A) Í rR(lM (rR (A)))پس (A))) Í rR (A) rR (lM (rR ؛
در نتیجه(A))) = rR (A) rR (lM (rR .
به طریق مشابه اگر I و J دو زیرمجموعه R باشند و I Í J ، آنگاه lM (J) Í lM (I) . بوضوح
I Í rR (lM (I)) و میتوان نتیجه گرفت : lM (rR (lM (I)))=lM (I) .
اگرM یک R -مدول و U یک کلاس از R – مدولها باشدTr (M ,U ) و Rej (M, U ) به صورت زیر تعریف میشوند که زیرمدولهایی از M میباشند.
Tr (M ,U )=å { Im f | f : ua → M , uaÎ U برای برخی }
خرید اینترنتی فایل متن کامل :
Rej (M, U )=∩ {ker f | f : M → ua , uaÎU برای برخی }
اگر S مجموعه تمام R – مدولهای راست ساده باشد، به ازای هر R – مدول M،Soc (MR) بزرگترین زیرمدول نیمساده M است و با توجه به بخش 9 از مرجع [1] به صورت زیر تعریف می شود :
Soc(MR) = Tr (M ,S) = å {K | است M یک زیرمدول ساده از K }
= ∩ { L | L vess M }.
همچنین R – مدول M نیمساده است اگر و تنها اگر soc(MR) = MR .
ضمناً به سادگی دیده می شود R – مدول M نیمساده است اگر و تنها اگر زیرمدول اساسی غیر بدیهی نداشته باشد.
R – مدول M پروژکتیو نامیده میشود هرگاه به ازای هر نمودار از R- همریختیها و R- مدولها به صورت زیرکه سطر آن دقیق باشد ، R- همریختی→ A M موجود باشد به طوریکه نمودار زیر جابجایی باشد.
1-2-1. R – مدول پروژکتیو M
یا به طور معادل اگر هر دنباله دقیق کوتاه به صورت A→ B→ M → 0 0 → شکافته شود ، آنگاه M پروژکتیو است.
R – مدول M انژکتیو نامیده میشود هرگاه به ازای هر نمودار از R- همریختیها و R- مدولها به صورت زیرکه سطر آن دقیق باشد، R – همریختی→ M B موجود باشد به طوریکه نمودار جابجایی باشد.
1-2-2. R – مدول انژکتیو M
همچنین R – مدول M انژکتیو است هرگاه به ازای هرایدهآل راست I از R ، هر همریختی
f : I→ M را بتوان از R به M گسترش داد. (لم بئر)
1-2-3. R – مدول انژکتیوM (لم بئر)
تعاریف و قضایای زیر برای حلقهها و مدولهای راست بیان می شود و به طور مشابه برای مدولهای چپ نیز برقرار است.
تعریف 1-2-1. حلقه R، خود- انژکتیو راست نامیده می شود، هرگاه RR انژکتیو باشد.
تعریف 1-2-2. حلقه R، حلقه انژکتیو اصلی راست یا به اختصار P- انژکتیو راست نامیده می شود، هرگاه به ازای هر aÎR هر R – همریختی f :aR→ RR را بتوان به R– همریختی
:RR→ RR گسترش داد .
تعریف1-2-3 . مجموعه عناصر منفرد R- مدول راست M را با Z(MR ) نشان میدهیم و تعریف میکنیم :
Z(MR ) = {mÎM | rR (m) vess RR } £ M .
تعریف1-2-4 . R – مدولM، نامنفرد نامیده می شود هرگاه Z(MR ) = 0 و نیز منفرد نامیده می شود هرگاه Z(MR ) = M .
تعریف1-2-5 . زیرمدول N ازR – مدول M ، کاملاً پایا نامیده می شود هرگاه به ازای هر
ÎEnd (MR ) f داشته باشیم f(N) Í N .
تعریف1-2-6 . یک حلقه را حلقه دو راست(right duo)گویند، هرگاه هر ایدهآل راست آن
دو طرفه باشد. به طور مشابه حلقه دو چپ تعریف می شود.
همچنین اگر R یک حلقه دو چپ باشد وyÎ R آنگاه yR Í Ry ، از آنجا که Ry دو طرفه است به ازای هر Î R r،yrÎ Ry و در نتیجه yR Í Ry .
تعریف1-2-7. عنصر aÎR ، منظم چپ نامیده می شود هرگاه= 0 lR (a). به طور مشابه عنصرbÎR ، منظم راست است هرگاه= 0 rR (b) .
تعریف1-2-8 .حلقه R ، کاهشی است هرگاه عنصر پوچتوان غیرصفر نداشته باشد.
تعریف1-2-9. حلقه R ، برگشتپذیر (reversible)نامیده می شود هرگاه به ازای هر a,bÎ R اگر= 0 ab آنگاه ba = 0 .
تعریف1-2-10. ایدهآل سره P از حلقه R نیماول نامیده می شود هرگاه به ازای هرایدهآل IازR اگرI 2 Í P ، آنگاه Í P I .
تعریف1-2-11. حلقهR نیماول گفته می شود، هرگاه صفر یک ایدهآل نیماول باشد.
تعریف1-2-12. فرض کنید R یک حلقه باشد. رسته تمام R – مدولهای راست را با MR و رسته تمام R – مدولهای چپ را با RM نشان میدهند.
تعریف1-2-13. فرض کنید R یک حلقه و a یک درونریختی از R باشد ، حلقه R[x, a] حلقه چندجملهای اریب نامیده می شود هرگاه شاملتمام چند جملهایهای چپ با متغیر x به صورت xi باشد جاییکه ri ÎR ، به طوریکه بهازای هر اسکالرrÎR ضرب با عمل
r= a®.x x تعریف شود.
تعریف1-2-14. R- مدولM را فشردهپذیر گویند هرگاه بهازای هر £ M Nیک تکریختی از
M بهN موجود باشد.
در زیر دو مفهوم تولید کردن و مولد ، و دوگان آن هم-تولید کردن و هم-مولد بیان می شود.
تعریف1-2-15. فرض کنیدU یک کلاس از R – مدولها باشد .گوییم مدول M توسط U ( به طور متناهی ) تولید می شود (U ، M را ( به طور متناهی ) تولید می کند) اگر یک مجموعه اندیسشده (متناهی) (Ua)aÎJ در U و همریختی پوشای ÅJ Ua → M → 0 موجود باشد.
اگر= {U} U ، آنگاه گوییم U ، M را تولید می کند هرگاه مجموعه اندیس J و همریختی پوشای M → f : U (J) موجود باشد.
[جمعه 1400-05-08] [ 08:58:00 ب.ظ ]
|